Slotsannsynlighet

Slotsannsynlighet h1>

Teoretiske muligheter: Et enklere problem.

Teoretiske muligheter: Et enklere problem.

Diskusjonen etter den opprinnelige Plinko-brettaktiviteten forer til en observasjon at eksperimentelle sannsynligheter avhenger av antall repetisjoner i et eksperiment; eksperimentelle sannsynligheter kan ikke generaliseres til andre eksperimenter der f rre eller flere repetisjoner er fullfort. Vi bestemmer teoretiske sannsynligheter for a overvinne denne ulempen. Generelt, nar vi snakker om sannsynligheter, refererer vi til teoretiske sannsynligheter.

Nar alle utfall i et eksperiment er like sannsynlig, beregnes sannsynligheten for at en hendelse skjer, P (hendelse), av.

I Plinko-spillet er imidlertid ikke alle hendelser like sannsynlige fordi nar brikken treffer siden av brettet, er det tvunget til a falle i en bestemt retning. Dermed trenger vi en annen strategi for a beregne sannsynlighetene.

Strategien vi bruker er et sannsynlighets-trediagram. For a se hvordan du bygger trediagrammet, ser vi pa et mindre og enklere spillbrett. Anta at brettet er som vist pa figur 2, med bare tre start- og sluttspor.

Figur 2. Plinko bord med 3 start og slutt spor.

Hvis en brikke slippes fra spor B, kan den falle til venstre eller hoyre. Dermed er sannsynligheten det vil falle til venstre 1/2 og sannsynligheten for at den faller til hoyre er 1/2. Vi kan illustrere dette ved hjelp av et trediagram som vi konstruerer som i figur 3. Vi merker hver gren av treet med sannsynligheten for at brikken vil ta en bane langs den grenen. Dette er trinn 1 i treet.

Fortsatt pa samme mate ser vi at det er to valg for hver av de to mulighetene i trinn 1, hver med sannsynlighet 1/2. Dette er illustrert i figur 4.

Pa dette punktet i brikkens sti er det en mulighet for at brikken kommer til a ramme veggen pa spillbrettet dersom det tar en av stiene vist i rodt pa figur 5. Hvis brikken moter veggen pa spillbrettet, vil den , med sannsynlighet 1, fall til hoyre (hvis den treffer venstre side) eller fall til venstre (hvis den treffer hoyre side).

Figur 5. Baner som bringer brikken i kontakt med veggen, vises i rodt.

Fortsatt pa den mate som er illustrert i disse eksemplene, kan vi konstruere hele trediagrammet for det lille Plinko-brettet. Sannsynligheten for at en brikke som faller fra spor B, vil lande i et bestemt spor langs en bestemt bane, beregnes ved a multiplisere sannsynlighetene langs banen. Dette er den multiplikative egenskapen til sannsynlighetstreet diagrammer.

Figur 6. Tr diagram for liten Plinko-brett.

Den teoretiske sannsynligheten (dette er en betinget sannsynlighet) for en chip landing i en av sporene, gitt at den starter i B, beregnes ved a legge til sannsynlighetene for hver bane fra B til sporet. Dette er additivegenskapen til sannsynlighetstreet diagrammer. Vi betegner den betingede sannsynligheten for at brikken vil lande i spor A ‘gitt at den starter i B ved P (A’ | B). Sannsynligheten for at brikken faller i spor A ‘gitt at den startet i B, beregnes ved a legge til sannsynlighetene assosiert med hver bane fra B til A’,

P (A ‘| B) = 1/8 + 1/16 + 1/16 = 1/4.

Pa samme mate beregner vi de betingede sannsynlighetene for at en brikke kommer til a ligge i spor B ‘eller C’ gitt at den starter i B:

P (B ‘| B) = 1/8 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/8 = 1/2, og.

P (C ‘| B) = 1/8 + 1/16 + 1/16 = 1/4.

For det store Plinko-brettet kan problemet med a finne sannsynlighetene for at en brikke faller inn i et bestemt spor, virke uoverstigelig fordi trediagrammet vil v re sa stort. Det er imidlertid en tiln rming vi kan ta som har direkte tilknytning til antall stier til et bestemt spor og Pascals triangel. Navngitt for fransk matematiker Blaise Pascal i 1654, er Pascal’s Triangle et trekantet arrangement av tall som tilsvarer sannsynlighetene som er involvert i a vende monter; Det brukes ofte til a undersoke sannsynlighetsmonstre knyttet til like sannsynlige hendelser. Studentene kan ha sett Pascal’s Triangle i forbindelse med koeffisientene i utvidelsen av bevegelser av binomial uttrykk. Hvis studentene har blitt introdusert til Pascal’s Triangle, er det na en god tid a vurdere metoden som den er konstruert pa. Hvis studentene ikke har blitt introdusert til Pascals triangel, er dette en god tid a gjore det.

Det er relativt enkelt a telle banene fra A, B eller C til de tre sluttsporene i det lille Plinko-brettet. Anta at en brikke starter i spor B. Nar den treffer den forste pinnen, kan den falle til hoyre eller venstre. Hvis den faller til venstre, kan den ved neste pinne falle til hoyre eller venstre. Hvis brikken faller til venstre, moter den veggen, sa det er tvunget til a falle til hoyre. Ved den siste pinnen kan den falle til hoyre eller venstre. Hvis den faller til venstre, kommer den til a ligge i spor A ‘sa dette utgjor en bane til A’ fra B. Figur 7 viser at det er 3 baner fra B til A ‘.

Figur 7. Telling av stiene fra B til A ‘

Pa samme mate kan vi bestemme at det er 6 baner fra B til B, og 3 baner fra B til C ‘. I utgangspunktet er var telling prosess av «brute force,» og hvis styret vart var storre, ville det v re vanskelig a telle stiene riktig, med mindre vi hadde en mer effektiv mate a telle pa. Heldigvis er det en mer effektiv tiln rming, og det er n rt knyttet til Pascals trekant. For a se hvordan Pascals triangle kommer inn i bildet, se animasjonen i figur 8.

Starter ved B (vi merker startsporet med 1), kan brikken falle til venstre eller hoyre, sa det er 1 bane fra B til hver av de to cellene i den andre raden. Merk disse cellene med 1. Hvis brikken faller til venstre, er det to baner til neste rad. Tilsvarende, hvis brikken faller til hoyre, er det to baner til neste rad. Sa i tredje rad er strekantene (fra venstre til hoyre) 1 2 1. Fortsatt pa samme mate er strekantene i den fjerde rad 3 3 og til slutt i den siste raden er strekantene 3 6 3 . Nar vi teller stiene fra B, kan vi nesten se fremkomsten av Pascal’s Triangle, og tallene i etterfolgende rader kan genereres pa samme mate som vi bygger Pascal’s Triangle.

For a se en mer effektiv mate a telle veiene pa, legg over Pascal’s Triangle pa spillbrettet (illustrert nedenfor). Den skyggefulle regionen tilsvarer celler i brettet. De rode tallene er tallene i Pascal’s Triangle som stemmer overens med tallene i var baneverdi.

Ser vi pa den fjerde raden av Pascal’s Triangle, ser vi at de 1 i hver ende er utenfor bordet. Dermed kan vi anta at brikken som ville ha kommet fra disse cellene ikke kommer til 5. rad, sa for a fa den riktige banen, trekker vi 1 fra 4-tallet i femte rad av Pascal’s Triangle.

Nar vi gjor subtraksjonene, stemmer banenummeret med tabellen som er oppnadd i figur 8.

Et forsiktighetsord: Pa dette tidspunktet ser det ut til at siden det er 12 mulige baner, kan sannsynlighetene beregnes som.

P (B ‘| B) = 6/12 = 1/2, og.

men selv om vi oppnar de samme tallverdiene for dette eksempelet nar vi bruker denne tiln rmingen, er det et tilfeldighet.

Vi kan ogsa bruke Pascal’s Triangle for a hjelpe oss med a beregne de teoretiske sannsynlighetene. Argumentet er basert pa hvor sannsynlighetene beregnes ved hjelp av et trediagram. Slutresultatet av argumentet er en enkel prosedyre som vi kan bruke til a beregne sannsynlighetene.

Vurder trediagrammet og sannsynlighetene langs grenene. Hvis en brikke ikke stoter pa siden, vil sannsynlighetene langs hver gren v re 1/2. Da det er 4 grener langs hver bane, er sannsynligheten for denne banen derfor et produkt av sannsynlighetene langs hver gren, noe som gir 1/2 4 = 16. Dette er nevnte av vare sannsynlighetsfraksjoner.

Vi kan beregne tellerne ved hjelp av Pascals triangel. Vurder den femte raden av Pascal’s Triangle og reflekter de to ytre 1 til midten som vist nedenfor.

Summen av de siste radoppforingene gir nevner av sannsynlighetsfraksjonen; Oppforingene gir tellerne slik.

P (B ‘| B) = 8/16 = 1/2, og.

Denne teknikken fungerer ogsa for en brikke som faller fra kolonner A eller C. Klikk her for a se detaljene i beregningene ved hjelp av bade et trediagram og tiln rmingen ved hjelp av Pascals triangel.

Tabellen nedenfor oppsummerer betingede sannsynligheter.

Det sporsmalet kan besvares ved hjelp av de multiplikative og additive egenskapene til trediagrammer. I dette tilfellet er treet noe annerledes fordi nar spillet begynner, har vi tre valg som kan gjores (startspor A, B eller C), hver med sannsynlighet 1/3. Sa trediagrammet begynner med tre grener, en til hver av A, B eller C. Resten av treet er fylt ut med de trediagrammer vi diskuterte tidligere.

Sannsynlighetene kan na beregnes ved hjelp av additivegenskapen.

P (A ‘) = 1/3 (P (A’ | A) + P (A ‘| B) + P (A’ | C)) = 1/3 (3/8 + 1/4 + 1/8 ) = 1/4.

P (B ‘) = 1/3 (P (B’ | A) + P (B ‘| B) + P (B’ | C)) = 1/3 (1/2 + 1/2 + 1/2 ) = 1/2.

P (C ‘) = 1/3 (P (C’ | A) + P (C ‘| B) + P (C’ | C)) = 1/3 (1/8 + 1/4 + 3/8 ) = 1/4.

Hvis du kjorer simuleringen i Internet Explorer, vises bare den siste banen.

Hvis du kjorer simuleringen i Netscape, vises hver bane (veldig raskt – avhengig av hvor raskt skjermen oppdateres, kan bare en del av banen vises).

Du kan se og laste ned et datainnsamlingsark for proveaktivitet her. (Word-format)

TI-83 kalkulatorprogrammet kan sees og lastes ned herfra.

TI-89 kalkulatorprogrammet kan sees og lastes ned herfra.